ANALISIS PERCOBAAN FAKTORIAL GANDA

TINJAUAN PUSTAKA 

Percobaan pada umumnya dilakukan untuk menemukan sesuatu. Oleh karena itu secara teoritis, percobaan diartikan sebagai tes atau penyelidikan terencana untuk mendapatkan fakta baru (Steel dan Torrie, 1991). Rancangan percobaan adalah suatu tes atau serangkaian tes dengan maksud mengamati dan mengidentifikasi perubahan perubahan pada output respon yang disebabkan oleh perubahan-perubahan yang dilakukan pada variabel input dari suatu proses (Montgomery, 2005). Dapat juga diartikan sebagai suatu uji atau sederetan uji baik itu menggunakan statistika deskripsi maupun statistika inferensia, yang bertujuan untuk mengubah peubah input menjadi suatu output yang merupakan respon dari percobaan tersebut (Mattjik, A dan Sumertajaya, I 2000) Suatu percobaaan biasanya dilakukan untuk menyelidiki apakah ada perbedaan efek dari beberapa perlakuan terhadap suatu percobaan. Kerap kali dijumpai bahwa hasil percobaan itu sebenarnya juga dipengaruhi oleh faktor-faktor lain yang diselidiki. Dengan adanya hal demikian maka di dalam menganalisis hasil percobaan harus diperhitungkan variabel-variabel yang dianggap mempengaruhi hasil percobaan. Sebagian besar percobaan dalam penelitian meliputi beberapa variabel atau lebih dari dua faktor yang diamati dalam suatu percobaan. Pada situasi ini, rancangan yang digunakan adalah rancangan faktorial. Percobaan faktorial adalah suatu percobaan dimana dalam satu keadaan (unit percobaan) dicobakan secara bersamaan dari beberapa (2 atau lebih) percobaan percobaan tunggal. Untuk memahami rancangan percobaan khususnya pada faktorial dan memahami fungsi faktorial ganda pada microsoft excel. Percobaan faktorial adalah suatu percobaan dimana dalam satu keadaan (unit percobaan) dicobakan secara bersamaan dari beberapa (2 atau lebih) percobaanpercobaan tunggal. Dari percobaan faktorial, selain dapat diketahui pengaruh-pengaruh tunggal faktor yang diujikan, dapat diketahui pula pengaruh gabungan (interaksi) dari masing-masing faktor yang diujikan. Percobaan faktorial dicirikan dengan perlakuan yang merupakan kombinasi dari semua kemungkinan kombinasi dari taraf-taraf faktor yang dicobakan. Keuntungan dari penggunaan percobaan faktorial adalah : • Karena percobaan faktorial merangkum beberapa percobaan faktor tunggal Sekaligus, maka percobaan faktorial akan lebih menepatgunakan dan dapat menghemat waktu, bahan, alat, tenaga kerja dan modal yang tersedia dalam mencapai semua sasaran percobaan-percobaan faktor tunggal sekaligus. • Dapat diketahui adanya kerjasama antara faktor (interaksi) dan pengaruh faktor dari dua faktor atau lebih. Kerugian Penggunaan Percobaan Faktorial • Makin banyak faktor yang diteliti, kombinasinya perlakuan makin meningkat pula, sehingga ukuran percobaan makin besar dan akan mengakibatkan ketelitiannya makin berkurang, perhitungan / analisisnya menjadi lebih rumit bila faktor / level ditambah, sehingga memerlukan ketelitian yang lebih cermat dan interaksi lebih dari dua faktor agak sulit untuk menginterpretasikan (Steel dan Torrie 1991). Salah satu percobaan faktorial untuk mengetahui adanya kerjasama antar faktor interaksi dari percobaan dua faktor atau lebih adalah percobaan lokasi ganda. Percobaan lokasi ganda (multilocation) memainkan peranan penting dalam pengembangbiakan tanaman (plant breeding) dan penelitian-penelitian agronomi. Data yang diperoleh dari percobaan ini sedikitnya mempunyai tiga tujuan utama dalam bidang pertanian, yaitu keakuratan pendugaan dan peramalan hasil berdasarkan data percobaan yang terbatas, menentukan stabilitas hasil dan pola respon genotif atau perlakuan agronomi terhadap lingkungan dan seleksi genotip atau perlakuan agronomi terbaik untuk dikembangkan pada masa yang akan datang atau lokasi yang baru. Analisis statistika yang biasa diterapkan pada percobaan uji daya hasil adalah analisis ragam (ANOVA), dan analisis komponen utama (AKU). Penilaian terhadap kedua analisis ini dianggap kurang memadai dalam menganalisis keefektifan struktur data yang kompleks. Analisis ragam merupakan suatu model aditif yang hanya menerangkan keefektifan pengaruh utama. Anova mampu menguji interaksi tetapi tidak mampu menentukan pola genotip atau lingkungan untuk meningkatkan interaksi. Sedangkan pada analisis komponen utama hanya efektif menjelaskan pengaruh interaksi tanpa menerangkan pengaruh utamanya. Dengan demikian untuk memperoleh gambaran secara lebih luas dari struktur data faktorial diperlukan pendekatan lain yaitu pendekatan Pengaruh Utama Aditif dengan Interaksi Ganda (UIAG) atau Additive Main Effects Multiplicative Interaction (AMMI ), yang merupakan gabungan dari pengaruh aditif pada analisis ragam dan pengaruh multiplikasi pada analisis komponen utama. Fungsi dari faktorial ganda yaitu menghasilkan faktorial ganda dari suatu bilangan. FACTDOUBLE (number) adalah nilai yang menghasilkan faktorial ganda, jika bilangan yang dicari bukan integer, hasilnya akan kacau. Apabila bilangan (number) bukan numerik,maka fungsi factdouble akan menghasilkan nilai kesalahan #VALUE!. Jika bilangan yang dicari negatif, maka fungsi factdouble akan menghasilkan nilai kesalahan #NUM!. Jika number adalah bilangan genap : n!! = n(n-2)(n-4)...(4)(2) Jika number adalah bilangan ganjil : n!! = n(n-2)(n-4)...(3)(1) FUNGSI FACT (FAKTORIAL) A. Faktorial Tunggal Fungsi FACT digunakan untuk menghasilkan nilai faktorial dari suatu angka. Bentuk persamaannya: =FACT(angka) Dalam perhitungan manual, akan dihitung nilai faktorial 5 5! = 5x4x3x2x1 = 120 Dengan menggunakan MO Excel 2007: =FACT(5) diperoleh hasil 120 Analisis: Nilai faktorial 5, atau 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 120 B. Faktorial Double Fungsi FACTDOUBLE digunakan untuk menghasilkan nilai ganda perkalian (faktorial) dari suatu angka. Bentuk persamaannya: =FACTDOUBLE(angka) Contoh: 1. =FACTDOUBLE(5) diperoleh hasil 15 Analisis: Menghitung nilai faktorial ganda dari angka 5 2. =FACTDOUBLE(9) diperoleh hasil 945 Analisis: Menghitung nilai faktorial ganda dari angka 9 FACTDOUBLE(number) Returns the double factorial of a number. number The number you want the double factorial of. REMARKS • In Excel 201o the accuracy of this function has improved. • If "number" < 0, then #NUM! is returned. • If "number" is not numeric, then #VALUE! is returned. • If "number" is even then, formula used is: n(n-2)(n-4)…(4)(2). • If "number" is odd then, formula used is: n(n-2)(n-4)…(3)(1). EXAMPLES A B 1 =FACTDOUBLE(3) = 3 =3*(3-2) = 3 2 =FACTDOUBLE(4) = 8 =4*(4-2) = 8 3 =FACTDOUBLE(5) = 15 =5*(5-2)*(5-4) = 15 4 =FACTDOUBLE(6) = 48 =6*(6-2)*(6-4) = 48 5 =FACTDOUBLE(7) = 105 =7*(7-2)*(7-4)*(7-6) = 105 6 =FACTDOUBLE(7.9) = 105 =7*(7-2)*(7-4)*(7-6) = 105 7 =FACTDOUBLE(12) = 46080 =12*(12-2)*(12-4)*(12-6)*(12-8)*(12-10) = 46080 8 =FACTDOUBLE(-4) = #NUM! 9 =FACTDOUBLE("some text") = #VALUE! ATAU Persamaan aproksimasi lain yang lebih sederhana (namun lebih tidak teliti, tetapi cukup dapat diandalkan) serta contoh infinity seriesnya ialah: Dengan e eksentrisitas elips, e = √(a²-b²) /a dan tanda '!!' merupakan operasi faktorial ganda (misal 7!! = 7×5×3×1, atau 8!! = 8×6×4×2) Bagi yang tidak suka repot, berikut program numerik buatan saya yang berbasis spreadsheet untuk memudahkan pekerjaan tanpa perlu ngitung. CONTOH DALAM PERTANIAN Manova merupakan salah satu metode statistik multivariat yang digunakan untuk menganalisis data lebih dari satu variabel dependen dengan skala interval atau rasio, sedangkan variabel independennya terdiri dari dua kelompok atau lebih, dimana semua variabel tersebut dianalisis secara simultan atau bersama-sama. Skripsi ini membahas tentang tanaman tembakau, untuk mengetahui pengaruh jarak tanam dan pemupukan terhadap jumlah daun dan berat daun pada tanaman tembakau dengan menggunakan manova percobaan faktorial pada rancangan acak lengkap. Setelah dilakukan uji manova faktorial rancangan acak lengkap pada tanaman tembakau, didapatkan perbedaan yang nyata pada jumlah daun dan berat daun tembakau yang dipengaruhi oleh jarak tanam 50cm x 70cm dan 45cm x 60cm, sedangkan untuk faktor pemupukan tidak ada perbedaan nyata pada jumlah daun dan berat daun tembakau, begitu juga pada faktor kombinasi jarak tanam dan pemupukan tidak ada perbedaan nyata pada jumlah daun dan berat daun tembakau. Dari uji vektor rata-rata pada faktor jarak tanam, diperoleh informasi bahwa terdapat perbedaan rata-rata antara variabel respon jumlah daun dan berat daun tembakau. Dan diperoleh bahwa pada faktor jarak tanam 45cm x 60cm merupakan jarak tanam yang paling bagus digunakan untuk menanam tembakau. Contoh Fact Double dalam Ms. Excel Sel A1-A3 spreadsheet berikut menunjukkan contoh fungsi Excel Factdouble digunakan untuk menghitung faktorial dari bilangan bulat ganda yang berbeda. Format fungsi ditunjukkan dalam spreadsheet di sebelah kiri dan hasilnya ditunjukkan dalam spreadsheet di sebelah kanan. Formulas : Result : Notes : kesalahan umum # NUM! - Terjadi jika argumen yang diberikan adalah jumlah <0 # VALUE! - Terjadi jika argumen yang diberikan nomor tidak diakui sebagai nilai numerik. Percobaan Faktorial Percobaan faktorial adalah suatu percobaan yang perlakuannya terdiri atas semua kemungkinan kombinasi taraf dari beberapa faktor. Percobaan dengan menggunakan f faktor dengan t taraf untuk setiap faktornya disimbolkan dengan percobaan faktorial ft. Misalnya, percobaan faktorial 22 artinya kita menggunakan 2 faktor dan taraf masing-masing faktornya terdiri dari 2 taraf. Percobaan faktorial 22 juga sering ditulis dalam bentuk percobaan faktorial 2×2. Penyimbolan yang terakhir sering digunakan untuk percobaan faktorial dimana taraf dari masing-masing faktornya berbeda, misalnya 2 taraf untuk faktor A dan 3 taraf untuk faktor B, maka percobaannya disebut percobaan faktorial 2×3. Percobaan faktorial 2x2x3 maksudnya percobaan faktorial yang terdiri dari 3 faktor dengan taraf untuk masing-masing faktornya berturut-turut 2, 2, dan 3. Dengan demikian, dalam percobaan faktorial, ada dua tahap yang perlu dilakukan, pertama yaitu rancangan perlakuannya, seperti yang sudah diuraikan sebelumnya, dan selanjutnya tahap pemilihan rancangan lingkungannya yaitu yang menyangkut bentuk desain percobaan seperti RAL, RAKL, RBSL, Split-plot, Split-Blok. Tujuan dari percobaan faktorial adalah untuk melihat interaksi antara faktor yang kita cobakan. Adakalanya kedua faktor saling sinergi terhadap respons (positif), namun adakalanya juga keberadaan salah satu faktor justru menghambat kinerja dari faktor lain (negatif). Adanya kedua mekanisme tersebut cenderung meningkatkan pengaruh interaksi antar ke dua faktor. Interaksi mengukur kegagalan dari pengaruh salah satu faktor untuk tetap sama pada setiap taraf faktor lainnya atau secara sederhana, Interaksi antara faktor adalah apakah pengaruh dari faktor tertentu tergantung pada taraf faktor lainnya? Misalnya apabila pengaruh sederhana N sama pada setiap taraf pemberian pupuk P maka kedua faktor tersebut saling bebas (independent) dan dikatakan tidak ada interaksi, sedangkan apabila pemberian N memberikan pengaruh yang berbeda pada setiap taraf dari P, maka dikatakan terjadi interaksi antara Faktor N dan Faktor P. Sebagai contoh, apabila kita ingin mengamati pengaruh pemberian Nitrogen (N) yang terdiri dari 2 taraf (n0, dan n1) dan pemberian fosfor (P) yang terdiri dari 2 taraf (p0, p1) terhadap respons tertentu, dengan hasil sebagai berikut: Faktor NITROGEN Rataan P Pengaruh sederhana N Fosfor (P) n0 n1 n1-n0 p0 40 48 44 8 (se N, p0) p1 42 51 46.5 9 (se N, p1) Rataan N 41 49.5 45.25 8.5 (me N) Pengaruh sederhana P (p1-p0) 2 (se P, n0) 3 (se P, n1) 2.5 (me P) Selisih n1 – n0 dan p1 – p0 dinamakan pengaruh sederhana (simple effects) disimbolkan dengan (se N) dan (se P). Rata-rata dari pengaruh sederhana dinamakan dengan pengaruh utama (main effects), disimbolkan (me N) and (me P). Perkiraan pengaruh interaksi dan pengaruh utama dari rata-rata perlakuan dapat dihitung dengan formula berikut: Pengaruh Sederhana (simple effect, se): Pengaruh Utama (main effect, me): Pengaruh Interaksi: Pengaruh sederhana ini diperlukan oleh pengguna (petani, misalnya), apabila dia hanya membatasi pada penggunaan taraf tertentu dari salah satu faktor. Misalnya, apabila petani ingin melihat perbedaan pengaruh N pada setiap taraf pemupukan P, pengaruh sederhana N pada taraf p0 = 8 dan pada taraf p1 = 9. Perbedaan antara pengaruh sederhana dan interaksi secara grafis dapat divisualisasikan sebagai berikut: Perbedaan antara pengaruh utama dan Interaksi Kemungkinan yang bisa terjadi antara pengaruh utama dan interkasi disajikan pada Tabel berikut: Sumber Keragaman 1 2 3 4 5 6 7 8 A tn * tn * tn * tn * B tn tn * * tn tn * * AxB tn tn tn tn * * * * Keuntungan: 1. Lebih efisien dalam menggunakan sumber-sumber yang ada. 2. Informasi yang diperoleh lebih komprehensif karena kita bisa mempelajari pengaruh utama dan interaksi. 3. Hasil percobaan dapat diterapkan dalam suatu kondisi yang lebih luas karena kita mempelajari kombinasi dari berbagai faktor. Kerugian: 1. Analisis Statistika menjadi lebih kompleks. 2. Terdapat kesulitan dalam menyediakan satuan percobaan yang relatif homogen. 3. pengaruh dari kombinasi perlakuan tertentu mungkin tidak berarti apa-apa sehingga terjadi pemborosan sumberdaya yang ada. KONSEP FAKTORIAL Konsep faktorial merupakan perbaikan dari konsep barter yaitu dengan memasukkan pengaruh perubahan teknologi (produksivitas) dalam konsep nilai tukar. Nilai tukar faktorial (NTF) pertanian didefinisikan sebagai rasio antara harga pertanian terhadap harga non pertanian, dikalikan dengan harga produktivitas pertanian (Zx). Apabila hanya memperhatikan produktivitas pertanian, maka disebut nilai tukar faktorial tunggal (NTFT), dan apabila produktivitas non pertanian (Zy) juga diperhitungkan, maka disebut juga nilai tukar faktorial ganda (NTFG) dirumuskan sebagai berikut : NTFT = Px * Zx / Py = NTB *Zx ...............................2 NTFG = Px * Zx/ Py * Zy = NTB / Z ................................ 3 Dimana : NTFT : Nilai Tukar Faktorial Ganda NTFG : Nilai Tukar Faktorial Ganda Zx : Produktivitas Komoditas Pertanian Zy : Produktivitas Produk non Pertanian Z : Rasio Produktivitas Pertanian Terhadap Produktivitas non Pertanian Konsep ini mampu mengidentifikasi pengaruh dari perubahan teknologi dari komoditas dan produk tertentu yang dipertukarkan. Namun konsep ini terbatas pada komoditas dan produk tertentu dan tidak dapat menjelaskan kemampua seluruh komoditas atau produk yang dipertukarkan. The double factorial of a positive integer is a generalization of the usual factorial defined by Note that , by definition (Arfken 1985, p. 547). The origin of the notation appears not to not be widely known and is not mentioned in Cajori (1993). For , 1, 2, ..., the first few values are 1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, ... (Sloane's). The numbers of decimal digits in for , 1, ... are 1, 4, 80, 1285, 17831, 228289, 2782857, 32828532, ... (Sloane's). The double factorial is implemented in Mathematica as n!! or Factorial2[n]. The double factorial is a special case of the multifactorial. The double factorial can be expressed in terms of the gamma function by (Arfken, 1985) The double factorial can also be extended to negative odd integers using the definition for , 1, ... (Arfken, 1985). Similarly, the double factorial can be extended to complex arguments as There are many identities relating double factorials to factorials. Since it follows that . For , 1, ..., the first few values are 1, 3, 15, 105, 945, 10395, ... (Sloane's). Also, since it follows that . For , 1, ..., the first few values are 1, 2, 8, 48, 384, 3840, 46080, ... (Sloane's). Finally, since it follows that For odd, For even, Therefore, for any , The double factorial satisfies the beautiful series The latter gives rhe sum of reciprocal double factorials in closed form as (Sloane's A143280), where is a lower incomplete gamma function. This sum is a special case of the reciprocal multifactorial constant. A closed-form sum due to Ramanujan is given by (Hardy 1999, p. 106). Whipple (1926) gives a generalization of this sum (Hardy 1999, pp. 111-112). 

DAFTAR PUSTAKA 

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 544-545 and 547-548, 1985. Cajori, F. A History of Mathematical Notations, Vol. 2. New York: Dover, 1993. C.Dumitrescu and V. Seleacu, Some notions and questions in Number Theory, Erhus Univ. Press,'Glendale, 1994. Felice Russo, A set of new Smarandache. functions, sequences and conjectures in number theory, American Research Press, 2000. Felice Russo, Five properties of the Smarandache Double Factorial Function, Smarandache Notions Journal 13 (2002), 183-185. Hardy, G. H. Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, 1999. H. Johnston and J. Mathews, Calculus, Addison-Wesley, 2002. Meserve, B. E. "Double Factorials." Amer. Math. Monthly 55, 425-426, 1948. P. Glaister, Factorial sums, Internat. J. Math. Educ. in Science and Technology 34 (2003), 250-257. P. J. Cameron, Sequences realized by oligomorphic permutation groups, J. Integ. Seqs. Vol. 3 (2000), #00.1.5. Received April 19 2005; revised version received September 29 2005.Published in Journal of Integer Sequences, September 29 2005. Sloane, N. J. A. Sequences A000165/M1878, A001147/M3002, A006882/M0876, A114488, and A143280 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences." Th. Dana-Picard, Explicit closed forms for parametric integrals, Internat. J. Math. Educ. in Science and Technology 35 (2004), 456-467. Th. Dana-Picard, Parametric integrals and Catalan numbers, Internat. J. Math. Educ. In Science and Technology 36 (2005), 410-414. Whipple, F. J. W. "On Well-Poised Series, Generalised Hypergeometric Series Having Parameters in Pairs, Each Pair with the Same Sum." Proc. London Math. Soc. 24, 247-263, 1926. W. Lang, On generalizations of Stirling number triangles, J. Integer Seqs., Vol. 3 (2000), #00.2.4.